堆

堆(heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称，通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。

堆{ k1,k2,ki,…,kn} (ki = k2i,ki = k2i+1)|(ki > = k2i,ki > = k2i+1), (i = 1,2,3,4...n/2)

关于堆：

• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
• 堆总是一棵完全二叉树（下面）。
• 将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

完全二叉树

说到堆排序，就不能不提完全二叉树，这些基本概念在网上到处都是，我摘了个最简单的。。

完全二叉树：除最后一层外，每一层上的节点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。

我自己总结认为，正是因为有下面两个特点，

• 只允许最后一层有空缺结点且空缺在右边，即叶子结点只能在层次最大的两层上出现（存储方式的规则性）；
• 若i> 1，tree的双亲为tree[i div 2]（其父子结点值的规律性）；

才使得其进行排序非常方便。

堆排序

堆排序求升序用大顶堆，求降序用小顶堆。

本例用求降序的小顶堆来解析。

堆排序步骤如下：

1、我们将数据（49、38、65、97、76、13、27、50）建立一个数组$arr；

2、用数组$arr建立一个小顶堆（主要步骤，会在代码注释里解释，下图是用一个数组建立小顶堆的过程）；

3、将堆的根（最小的元素）与最后一个叶子交换，并将堆长度减一，跳到第二步；

4、重复2-3步，直到堆中只有一个结点，排序完成。

堆排序的PHP实现

//因为是数组,下标从0开始,所以,下标为n根结点的左子结点为2n+1,右子结点为2n+2;
     
//初始化值,建立初始堆
$arr=array(49,38,65,97,76,13,27,50);
    
$arrSize=count($arr);
    

//将第一次排序抽出来，因为最后一次排序不需要再交换值了。
buildHeap($arr,$arrSize);
    

for($i=$arrSize-1;
    $i>
    0;
$i--){
    
  swap($arr,$i,0);
    
  $arrSize--;
    
  buildHeap($arr,$arrSize);
  
}
    

//用数组建立最小堆
function buildHeap(&
$arr,$arrSize){
    
  //计算出最开始的下标$index,如图,为数字"97"所在位置,比较每一个子树的父结点和子结点,将最小值存入父结点中
  //从$index处对一个树进行循环比较,形成最小堆
  for($index=intval($arrSize/2)-1;
     $index>
    =0;
 $index--){

    //如果有左节点,将其下标存进最小值$min
    if($index*2+1$arrSize){
    
      $min=$index*2+1;

      //如果有右子结点,比较左右结点的大小,如果右子结点更小,将其结点的下标记录进最小值$min
      if($index*2+2$arrSize){

        if($arr[$index*2+2]$arr[$min]){
    
          $min=$index*2+2;

        }

      }

      //将子结点中较小的和父结点比较,若子结点较小,与父结点交换位置,同时更新较小
      if($arr[$min]$arr[$index]){
    
        swap($arr,$min,$index);

      }
  
    }

  }

}
    

//此函数用来交换下数组$arr中下标为$one和$another的数据
function swap(&
$arr,$one,$another){
    
  $tmp=$arr[$one];
    
  $arr[$one]=$arr[$another];
    
  $arr[$another]=$tmp;

}
    

下面是排序的最终结果：

堆用来进行全排序，时间复杂度是O(nlogn)

而快排用来全排序，平均时间复杂度也是O(nlogn)

但堆排序可以用来求 TopK 时，堆的时间复杂度为O(Klog2(n)，因为它只需要进行 K 轮排序即可。

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